RING (GELANGGANG)

RING  (GELANGGANG)

A.    Pendahuluan

Pada bab terdahulu telah dibahas mengenai struktur aljabar yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dengan satu operasi biner yaitu terhadap penjumlahan atau terhadap perkalian yang disebut dengan grup. Pada bagian ini akan dibahas mengenai struktur aljabar yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dengan dua operasi yaitu terhadap penjumlahan dan perkalian, struktur aljabar ini disebut dengan ring (gelanggang).

Jadi sebelum masuk kedalam pembahasan ring sebaiknya kita terlebih dahulu harus menguasai materi tetang grup agar memudahkan kita dalam memahami materi ring tersebut. Maka pembahasan ring tersebut akan dijelaskan pada bagian di bawah ini.

B.     Pengertian Ring

Ring merupakan himpunan klasik yang melibatkan dua operasi biner. Ring didefenisikan sebagai himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yang memenuhi aksioma-aksioma, yaitu:

1.      Terhadap operasi biner pertama merupakan grup abelian.

2.      Terhadap operasi biner kedua merupakan semigrup.

3.      Terhadap operasi biner ketiga berlaku hukum distributif.[1]

Defenisi 1:

Himpunan R ≠ Ø dengan dua operasi biner, penjumlahan (+) dan perkalian (.) disebut mempunyai struktur suatu ring, selanjutnya R disebut ring (gelanggang) jika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini:

i.                    Terhadap penjumlahan {R,+} merupakan grup abelian, yaitu:

1.      Tertutup

untuk setiap a,b ϵ R berlaku a + b ϵ R

2.      Asosiatif

untuk setiap a b, c ϵ R berlaku (a + b) + c = a + (b + c) ϵ R

3.      Identitas

Untuk setiap a ϵ R terdapat e ϵ R sehingga e + a = a + e = a ϵ R

4.      Invers

Untuk setiap a ϵ R terdapat a^-1 ϵ R sehingga a + a^-1 = a^-1 + a = e ϵ R

5.      Komutatif

Untuk setiap a, b ϵ R berlaku a + b = b + a ϵ R

ii.                  Terdapat perkalian {R, . } memenuhi sifat

6.      Tertutup

Untuk setiap a,b ϵ R berlaku a . b ϵ R

7.      Asosiatif

untuk setiap a b, c ϵ R berlaku (a . b) . c = a . (b . c) ϵ R

iii.                Distributif {R, +, . }

8.      Distributif kanan

untuk setiap a b, c ϵ R berlaku (a + b) . c = a . c + b . c   ϵ R

9.      Distributif kiri

untuk setiap a b, c ϵ R berlaku a . (b + c) = a . b + a . c   ϵ R[2] 

Sebagai catatan yang perlu diingat pada konsep ring bahwa notasi untuk kedua operasi tesebut boleh apa saja, misalkan (R,+,o) ataupun (R,+,*) ataupun yang lainnya. Kita juga bebas menamakan nama yang merupakan operasi yang pertama ataupun nama operasi yang kedua, asalkan operasi biner tersbut memenuhi syarat-syarat suatu ring.

Contoh Soal :

1.      Tunjukan bahwa Z₄ adalah merupakan suatu ring !

Penyelesaian :

+4	0	1	2	3		*4	0	1	2	3
0	0	1	2	3		0	0	0	0	0
1	1	2	3	0		1	0	1	2	3
2	2	3	4	1		2	0	2	4	2
3	3	0	0	2		3	0	3	0	1

1.      Grup komutatif terhadap penjumlahan (Z_4, +)

a.       Tertutup

Ambil sembarang nilai dari Z_4, misalkan : (0,1,2,3)

Maka : 1 + 0 = 1                1 + 2 = 3

            1 + 1 = 2                1 + 3 = 0

Karena hasilnya 0,1,2,3 ϵ Z_4, maka sifat tertutup terpenuhi.

b.      Assosiatif

Misalkan a=2  b=1  c= 3  ϵ Z₄

(a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 1) + 3 = 2 + (1 + 3)

   3 + 3 = 2 + 0

               2 = 2

Karena ruas kiri dan kanan sama maka sifat asosiatif terpenuhi.

c.       Identitas

e + a = a + e = a

e = 0

d.      Invers

a + a^-1 = a^-1 + a = e

0 → 0

1 → 3

2 → 2

3 → 1

e.       Komutatif

Misalkan a = 3   b = 1

a + b = b + a

3 + 1 = 1 + 3

0 = 0

v  Jadi (Z_4, +) merupakan grup abelian.

                                 

2.      Semigrup terhadap perkalian (Z_4,  .)

a.       Tertutup

Ambil sembarang nilai dari Z_4, misalkan : (0,1,2,3)

Maka : 1 . 0 = 0                 1 . 2 = 2

            1 . 1 = 1                 1 . 3 = 3

Karena hasilnya 0,1,2,3 ϵ Z_4, maka sifat tertutup terpenuhi.

b.      Assosiatif

Misalkan a=2  b=1  c= 3  ϵ Z₄

(a . b) . c = a . (b . c)

(2 . 1) . 3 = 2 . (1 . 3)

  2 . 3 = 2 . 3

             2 = 2

v  Jadi (Z_4, .) merupakan semigrup.

3.      Distributif terhadap (Z_4, +, .)

a.       Distributif kanan

Ambil sembarang nilai dari Z_4, Misalkan a=2  b=1  c= 3  ϵ Z₄

(a + b) . c = a . c + b . c 

(2 + 1) . 3 = 2 . 3 + 1 . 3

   3 . 3 = 2 + 3

  1 = 1

b.      Distributif kiri

Ambil sembarang nilai dari Z_4, Misalkan a=2  b=1  c= 3  ϵ Z₄

 a . (b + c) = a . b + a . c

2 . (1 + 3) = 2 . 1 + 2 . 3

2 . 0 = 2 . 2

     0 = 0

v  Dengan demikian karena Z₄ telah memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka 

     (Z₄, +, .) adalah suatu ring.

---

[1]Rifki Chandra Utama dan Karyati, “Ring Fuzzy dan Sifat-sifatnya”, J. Sains Dasar, Vol. 5, N0. 1, 7 Maret 2016, Hal. 28

[2]Elvinus dan Abdul Hamid, “Ring Prima dan Ring Semiprima”, Jurnal Barekeng, Vol. 7, No. 1, 2013, Hal. 1-2

Read More

MATRIKS

PENGERTIAN MATRIKS

Matriks adalah suatu susunan elemen-elemen atau entri-entri yang

berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom.

Susunan elemen ini diletakkan dalam tanda kurung biasa ( ) atau

kurung siku [ ]. Elemen-elemen atau entri-entri tersebut dapat

berupa bilangan atau berupa huruf.

JENIS-JENIS MATRIKS

1. Matriks nol yaitu matriks yang seluruh elemennya nol.

2. Matriks kolom yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.

3. Matriks baris yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu baris

4. Matriks persegi yaitu matriks yang banyaknya baris sama dengan

    banyaknya kolom.

5. Matriks diagonal yaitu matriks yang seluruh elemennya nol kecuali pada diagonal utamanya tidak semuanya nol.

OPERASI MATRIKS

1. Penjumlahan  Matriks

          Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan  bila ordo (baris x kolom) kedua matriks tersebut sama.  Hasil jumlah atau selisih didapat dengan cara menjumlahkan  atau elemen-elemen yang seletak  dari kedua matriks tersebut.

Contoh penjumlahan matriks

2. Pengurangan Matriks

           Dua matriks A dan B dapat dikurangkan bila ordo (baris x kolom) kedua matriks tersebut sama.  Hasil jumlah atau selisih didapat dengan cara mengurangkan atau elemen-elemen yang seletak    dari kedua matriks tersebut.

Contoh pengurangan matriks

3. Perkalian Matriks

    a. Perkalian matriks dengan skalar (k)

    b. Perkalian matriks dengan matriks

a. Perkalian Matriks dengan Skalar (K)

          Misalkan k sebuah skalar dan A sebuah matriks maka kA adalah sebuah matriks yang didapat dengan cara mengalikan setiap elemen (entri) matriks A dengan skalar k.

Contoh perkalian skalar matriks 

b. Perkalian Matriks dengan Matriks

           Dua matriks A dengan ordo m x n dan matriks B dengan ordo n x p hasil kali antara A dan B adalah sebuah matriks C = A . B yang berordo m x p, didapat dengan cara mengalikan setiap elemen baris matriks A dengan elemen kolom matriks B.

Contoh perkalian matriks dengan matriks

4. Perpangkatan Matriks

        Perpangkatan yang dimaksud dalam operasi matriks adalah perkalian berulang suatu matriks dengan matriks itu sendiri.

     Syarat agar suatu matriks bisa dipangkatkan adalah, matriks tersebut haruslah matriks persegi atau matriks bujur sangkar.

Contoh Perpangkatan Matriks

Matriks Transpose (A^t)

Matriks transpose merupakan matriks yang

Mengalami pertukaran elemen dari kolom

menjadi baris atau sebaliknya.

Contoh determinan matriks

Determinan Matriks

Determinan dari matriks A diberi notasi tanda kurung, sehingga penulisannya |A|. Determinan hanya bisa dilakukan pada matriks persegi.

Yaitu :

1. Determinan matriks ordo 2x2

2. Determinan matriks ordo 3x3

3. Determinan matriks ordo 4x4

4. Dan seterusnya.

CONTOH

Contoh determinan matriks ordo 2x2

Invers Matriks

Suatu matriks A memiliki invers (kebalikan) jika ada matriks B yang dapat

membentuk persamaan AB = BA = I, dengan I adalah matriks identitas. Invers dari suatu matriks berordo (2 x 2).

Contoh invers matriks

Agar lebih paham tentang matriks bisa cek vidio di link berikut ya:
https://youtu.be/htCHwZTT-NI

Read More