RING (GELANGGANG)

RING  (GELANGGANG)

A.    Pendahuluan

Pada bab terdahulu telah dibahas mengenai struktur aljabar yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dengan satu operasi biner yaitu terhadap penjumlahan atau terhadap perkalian yang disebut dengan grup. Pada bagian ini akan dibahas mengenai struktur aljabar yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dengan dua operasi yaitu terhadap penjumlahan dan perkalian, struktur aljabar ini disebut dengan ring (gelanggang).

Jadi sebelum masuk kedalam pembahasan ring sebaiknya kita terlebih dahulu harus menguasai materi tetang grup agar memudahkan kita dalam memahami materi ring tersebut. Maka pembahasan ring tersebut akan dijelaskan pada bagian di bawah ini.

B.     Pengertian Ring

Ring merupakan himpunan klasik yang melibatkan dua operasi biner. Ring didefenisikan sebagai himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yang memenuhi aksioma-aksioma, yaitu:

1.      Terhadap operasi biner pertama merupakan grup abelian.

2.      Terhadap operasi biner kedua merupakan semigrup.

3.      Terhadap operasi biner ketiga berlaku hukum distributif.[1]

Defenisi 1:

Himpunan R ≠ Ø dengan dua operasi biner, penjumlahan (+) dan perkalian (.) disebut mempunyai struktur suatu ring, selanjutnya R disebut ring (gelanggang) jika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini:

i.                    Terhadap penjumlahan {R,+} merupakan grup abelian, yaitu:

1.      Tertutup

untuk setiap a,b ϵ R berlaku a + b ϵ R

2.      Asosiatif

untuk setiap a b, c ϵ R berlaku (a + b) + c = a + (b + c) ϵ R

3.      Identitas

Untuk setiap a ϵ R terdapat e ϵ R sehingga e + a = a + e = a ϵ R

4.      Invers

Untuk setiap a ϵ R terdapat a^-1 ϵ R sehingga a + a^-1 = a^-1 + a = e ϵ R

5.      Komutatif

Untuk setiap a, b ϵ R berlaku a + b = b + a ϵ R

ii.                  Terdapat perkalian {R, . } memenuhi sifat

6.      Tertutup

Untuk setiap a,b ϵ R berlaku a . b ϵ R

7.      Asosiatif

untuk setiap a b, c ϵ R berlaku (a . b) . c = a . (b . c) ϵ R

iii.                Distributif {R, +, . }

8.      Distributif kanan

untuk setiap a b, c ϵ R berlaku (a + b) . c = a . c + b . c   ϵ R

9.      Distributif kiri

untuk setiap a b, c ϵ R berlaku a . (b + c) = a . b + a . c   ϵ R[2] 

Sebagai catatan yang perlu diingat pada konsep ring bahwa notasi untuk kedua operasi tesebut boleh apa saja, misalkan (R,+,o) ataupun (R,+,*) ataupun yang lainnya. Kita juga bebas menamakan nama yang merupakan operasi yang pertama ataupun nama operasi yang kedua, asalkan operasi biner tersbut memenuhi syarat-syarat suatu ring.

Contoh Soal :

1.      Tunjukan bahwa Z₄ adalah merupakan suatu ring !

Penyelesaian :

+4	0	1	2	3		*4	0	1	2	3
0	0	1	2	3		0	0	0	0	0
1	1	2	3	0		1	0	1	2	3
2	2	3	4	1		2	0	2	4	2
3	3	0	0	2		3	0	3	0	1

1.      Grup komutatif terhadap penjumlahan (Z_4, +)

a.       Tertutup

Ambil sembarang nilai dari Z_4, misalkan : (0,1,2,3)

Maka : 1 + 0 = 1                1 + 2 = 3

            1 + 1 = 2                1 + 3 = 0

Karena hasilnya 0,1,2,3 ϵ Z_4, maka sifat tertutup terpenuhi.

b.      Assosiatif

Misalkan a=2  b=1  c= 3  ϵ Z₄

(a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 1) + 3 = 2 + (1 + 3)

   3 + 3 = 2 + 0

               2 = 2

Karena ruas kiri dan kanan sama maka sifat asosiatif terpenuhi.

c.       Identitas

e + a = a + e = a

e = 0

d.      Invers

a + a^-1 = a^-1 + a = e

0 → 0

1 → 3

2 → 2

3 → 1

e.       Komutatif

Misalkan a = 3   b = 1

a + b = b + a

3 + 1 = 1 + 3

0 = 0

v  Jadi (Z_4, +) merupakan grup abelian.

                                 

2.      Semigrup terhadap perkalian (Z_4,  .)

a.       Tertutup

Ambil sembarang nilai dari Z_4, misalkan : (0,1,2,3)

Maka : 1 . 0 = 0                 1 . 2 = 2

            1 . 1 = 1                 1 . 3 = 3

Karena hasilnya 0,1,2,3 ϵ Z_4, maka sifat tertutup terpenuhi.

b.      Assosiatif

Misalkan a=2  b=1  c= 3  ϵ Z₄

(a . b) . c = a . (b . c)

(2 . 1) . 3 = 2 . (1 . 3)

  2 . 3 = 2 . 3

             2 = 2

v  Jadi (Z_4, .) merupakan semigrup.

3.      Distributif terhadap (Z_4, +, .)

a.       Distributif kanan

Ambil sembarang nilai dari Z_4, Misalkan a=2  b=1  c= 3  ϵ Z₄

(a + b) . c = a . c + b . c 

(2 + 1) . 3 = 2 . 3 + 1 . 3

   3 . 3 = 2 + 3

  1 = 1

b.      Distributif kiri

Ambil sembarang nilai dari Z_4, Misalkan a=2  b=1  c= 3  ϵ Z₄

 a . (b + c) = a . b + a . c

2 . (1 + 3) = 2 . 1 + 2 . 3

2 . 0 = 2 . 2

     0 = 0

v  Dengan demikian karena Z₄ telah memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka 

     (Z₄, +, .) adalah suatu ring.

---

[1]Rifki Chandra Utama dan Karyati, “Ring Fuzzy dan Sifat-sifatnya”, J. Sains Dasar, Vol. 5, N0. 1, 7 Maret 2016, Hal. 28

[2]Elvinus dan Abdul Hamid, “Ring Prima dan Ring Semiprima”, Jurnal Barekeng, Vol. 7, No. 1, 2013, Hal. 1-2