A. Pengertian
Grup Siklik
Grup siklik adalah suatu sistem matematika yang
merupakan suatu himpunan tak hampa yang dipenuhi oleh suatu operasi dan
memenuhi sifat assosiatif, sifat identitas dan sifat invers dan mempunyai
unsur-unsur pembangun (generator) dari unsur-unsur grup itu sendiri. Dengan
kata lain, suatu grup belum tentu
merupakan grup siklik tetapi grup siklik sudah pasti merupakan grup.
Defenisi
1: grup siklik (terhadap penjumlahan)
Grup
(G,+) disebut siklik, jika ada elemen a ϵ G sedemikian sehingga
G={an|n ϵ Z} maka
elemen a disebut pembangun dari grup siklik tersebut.
Defenisi
2: grup siklik (terhadap perkalian)
Grup
(G,*) disebut siklik jika ada elemen a ϵ G sedemikian sehingga
G={an|n ϵ Z} maka elemen a disebut pembangun dari
grup siklik tersebut.
Sehingga
dari kedua defenisi tersebut, secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
Misalkan
(G,*) adalah suatu grup dan a ϵ G, maka generator a yang membangun suatu subgrup [a]
dinamakan subgrup siklik dari (G,*).
Contoh soal yang merupakan grup
siklik:
1. Diketahui
S={-1,1} dengan operasi perkalian, selidikilah apakah (S,*) adalah grup siklik?
Jika ya, tentukan generator-generatornya!
Penyelesaian:
Menunjukkan tabel
cayley dari S:
Dengan melihat tabel
diatas:
a. Sifat
tertutup terpenuhi
b. Sifat
assosiatif
Misalkan: a = 1, b = 1,
c = -1
(a*b) *c = a*
(b*c)
(1x1) x-1 = 1x (1x-1)
1x-1
= 1x -1
-1 = -1
c. Sifat
identitas
a*e = e*a = a dimana e=1
a*e = a maka:
-1x1 = -1
1x1
= 1
d. invers
a*a-1 = a-1*a
= e
a*a-1 = e Maka: -1
-1
1
1
Dengan demikian (S,x)
merupakan grup.
·
Kita selidiki unsur-unsur yang merupakan
generator:
Unsur: -1 Unsur:
1
-11= -1 11=
1
-12= -1 x -1
= 1 12=
1 x 1 = 1
-13= -1 x -1
x -1= -1 <1>
S
<-1>=S
Dengan demikian (S,x)
merupakan grup siklik dengan generator <-1>
2. Tunjukkan
bahwa H={0,2,4} merupakan subgrup dari penjumlahan modulo 6, dan selidikilah
apakah (H,+6) merupakan grup siklik? Jika ya tentukan
generator-generatornya!
Pembahasan:
H={0,2,4}
Dengan operasi +6
Menunjukkan tabel cayley dari H:
+6
|
0
|
2
|
4
|
0
|
0
|
2
|
4
|
2
|
2
|
4
|
0
|
4
|
4
|
0
|
2
|
Dengan melihat tabel
diatas:
a. Sifat
tertutup terpenuhi
b. Sifat
assosiatif
Misalkan: a = 0, b = 2,
c = 4
(a*b) *c = a*
(b*c)
(0+2) +4 = 0+ (2+4)
2+4
= 0+0
0 = 0
c. Sifat
identitas
a*e = e*a = a dimana e=0
a*e = a maka:
0+0 = 0
2+0 = 2
4+0 = 4
d. invers
a*a-1 = a-1*a
= e
a*a-1 = e Maka: 0
0
2
4
4
2
Dengan demikian (H,+6)
merupakan subgrup dari (G,+6).
·
Kita selidiki unsur-unsur yang merupakan
generator:
Unsur: 0 Unsur: 2 Unsur: 4
01= 0 21=
2 41=
4
02= 0+0 = 0 22= 2+2=4 42=
4+4=2
<0>
H 23=2+2+2=0 43= 4+4+4=0
24=2+2+2+2=2 44=4+4+4+4=4
<2>=H <4>=H
Dengan demikian (H,+6)
merupakan grup siklik dengan
generator <2> dan <4>
3. Diketahui
himpunan A={a,b,c,d} dimana:
a:
b:
c:
d:
tunjukkan bahwa A dengan operasi
perkalian matriks merupakan grup, dan selidikilah apakan (A,x) merupakan grup
siklik dan jika ya tentukan generator-generatornya!
Pembahasan:
A={a,b,c,d}
Dengan operasi perkalian matriks
a:
b:
c:
d:
Menunjukkan
tabel cayley dari A:
X
|
a
|
b
|
c
|
d
|
a
|
c
|
B
|
a
|
b
|
b
|
d
|
a
|
b
|
c
|
c
|
a
|
b
|
c
|
d
|
d
|
b
|
c
|
d
|
a
|
Dengan melihat tabel
diatas:
a. Sifat
tertutup terpenuhi
b. Sifat
assosiatif
Misalkan: a = c, b = d,
c = a
(a*b) *c
= a* (b*c)
(c x d) x a = c x (d x a)
d x a
= c x b
b = b
c. Sifat
identitas
a*e = e*a = a dimana e = c
a*e = a maka:
a x c = a
b x c = b
c x c = c
d x c = d
d. invers
a*a-1 = a-1*a
= e
a*a-1 = e Maka:
a
a
b
d
c
c
d
b
Dengan demikian (A,x)
merupakan grup.
·
Kita selidiki unsur-unsur yang merupakan
generator:
Unsur: a Unsur:
c
a1= a c1=
2
a2= a x a = c c2=
c x c =c
a3= a x a x a = a <b>
A
<a>
A
Unsur: b Unsur:
d
b1= b d1=
d
b2= b x b = a d2=
d x d = a
b3= b x b x b = d d3=
d x d x d = b
b4= b x b x b x b = c d4= d x d
x d x d = c
b5= b x b x b x b x b = b d5= d x d x d x
d x d = d
<b>
A <d>
A
Dengan demikian (A,x) merupakan grup
siklik dengan
generator <b> dan <d>
Contoh
soal yang bukan merupakan grup siklik:
1. Tunjukkan
bahwa himpunan B={5,15,25,35} adalah sebuah grup dibawah perkalian modulo 40,
dan selidikilah apakah (B,x) adalah grup siklik? Jika ya tentukan generatornya!
Pembahasan:
Menunjukkan
tabel cayley dari B:
X40
|
5
|
15
|
25
|
35
|
5
|
25
|
35
|
5
|
15
|
15
|
35
|
25
|
15
|
5
|
25
|
5
|
15
|
25
|
35
|
35
|
15
|
5
|
35
|
25
|
Dengan melihat tabel
diatas:
a. Sifat
tertutup terpenuhi
b. Sifat
assosiatif
Misalkan: a = 5, b = 15,
c = 25
(a*b) *c = a*
(b*c)
(5x15) x 25 = 5 x (15x25)
35 x 25
= 5 x 15
35 = 35
c. Sifat
identitas
a*e = e*a = a dimana e = 25
a*e = a maka:
5x25 = 5
15x25 = 15
25x25 = 25
35x25 = 35
d. invers
a*a-1 = a-1*a
= e
a*a-1 = e Maka: 5
5
15
15
25
25
35
35
Dengan demikian (B,x)
merupakan grup.
·
Kita selidiki unsur-unsur yang merupakan
generator:
Unsur: 5 Unsur:
15
51=5 151=15
52=5x5=25 152=15x15=25
53=5x5x5=5 153=15x15x15=15
<5>
B <15>
B
Unsur: 25 Unsur:
35
251=25 351=35
252=25x25=25 352=35x35=25
253=25x25x25=25 353=35x35x35=35
<25>
B <35>
B
Dengan demikian (B,x) bukan merupakan
grup siklik dan tidak mempunyai generator.
2. Selidikilah
apakah U8 dengan operasi perkalian modulo 8 merupakan grup siklik,
jika ya tentukan generatornya!
Pembahasan:
U8 = {1,3,5,7}
Menunjukkan
tabel cayley dari B:
U8
|
1
|
3
|
5
|
7
|
1
|
1
|
3
|
5
|
7
|
3
|
3
|
1
|
7
|
5
|
5
|
5
|
7
|
1
|
3
|
7
|
7
|
5
|
3
|
1
|
Dengan melihat tabel diatas:
a. Sifat
tertutup terpenuhi
b. Sifat
assosiatif
Misalkan: a = 1, b = 3,
c = 7
(a*b) *c = a* (b*c)
(1x3) x 7 = 1 x (3x7)
3 x 7
= 1 x 5
5
= 5
c. Sifat
identitas
a*e = e*a = a dimana e = 1
a*e = a maka:
1x1 = 1
3x1 = 3
5x1 = 5
7x1 = 7
d. invers
a*a-1 = a-1*a
= e
a*a-1 = e Maka: 1
1
3
3
5
5
7
7
Dengan demikian (U8,*)
merupakan grup.
·
Kita selidiki unsur-unsur yang merupakan
generator:
Unsur: 1 Unsur:
3
11=1 31=3
12=1x1=1 32=3x3=1
13=1x1x1=1 33=3x3x3=3
<1>
U8 <3>
U8
Unsur: 5 Unsur:
7
51=5 71=7
52=5x5=1 72=7x7=1
53=5x5x5=5 73=7x7x7=7
<5>
U8 <7>
U8
Dengan demikian (U8,*) bukan
merupakan grup siklik dan tidak mempunyai generator.
